高中数学经典的解题技巧和方法（数列求和及综合应用） 跟踪训练题 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.已知{an}为等差数列，若 <-1,且它的前n项和Sn有最大值，那么使Sn>0的n的最大值为( ) (A)11 (B)20 (C)19 (D)21 2.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( ) (A)(-∞，-1］ B)(-∞,0)∪(1,+∞) (C)［3,+∞) (D)(-∞,-1］∪［3,+∞) 3.首项为b,公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N*，点(Sn，Sn+1)在( ) (A)直线y=ax+b上 (B)直线y=bx+a上 (C)直线y=bx-a上 (D)直线y=ax-b上 4.在数列 中，若存在非零整数 ，使得 对于任意的正整数 均成立，那么称数列 为周期数列，其中 叫做数列 的周期. 若数列 满足 ，如 ，当数列 的周期最小时，该数列的前2010项的和是 （ ） 5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如： 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) (A)289 (B)1 024 (C)1 225 (D)1 378 6.（2010届•安徽省安庆市高三二模（文））已知实数 、 满足： (其中 是虚数单位)，若用 表示数列 的前 项和，则 的最大值是( ) A.12 B.14 C.15 D.16 二、填空题（每小题6分，共18分） 7. 已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时， ________ 8. 类比是一个伟大的引路人。我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论： ， 9.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 _______行；第61行中1的个数是_______. 三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分) 10.已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）. (1)证明数列{an+1}是等比数列； (2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1). 11.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)=6x-2.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； 12.在数列 中， . （1）求 的值； （2）求数列 的通项公式； （3）求 的最大值. 参考答案 一、选择题 1. 【解析】选C.∵等差数列{an}中， <-1且它的前n项和Sn有最大值，∴a10>0,a11<0,故a11<-a10. 即a11+a10<0,而a10+a10>0, ∴使Sn>0的n的最大值为19. 2. 3. 4. D 5. 【解析】选C.从图中观察知 图1中an=1+2+…+n= 图2中bn=n2,显然1 225在an中n=49,在bn中n=35. 6. D 二、填空题 7. 8. ， 9.【解析】①第1次全行的数都是1的是第1行， 第2次全行的数都是1的是第3行， 第3次全行的数都是1的是第7行， …… 第n次全行的数都是1的是第2n-1行， ②由上面结论知第63行有64个1， 则1 100……0 011……61行 1 010……101……62行 1 111……11……63行 从上面几行可知第61行数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个为1， ∴在第61行的62个数中有32个1. 答案：2n-1 32 三、解答题 10. 【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4， 两式相减，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，即an+1=2an+1.从而an+1+1=2(an+1). 当n=1时，S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6, 又a1=5,∴a2=11,∴a2+1=2(a1+1)，故总有an+1+1=2 (an+1),n∈N*. 又∵a1=5,∴an+1≠0， 即{an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列. （2）由(1)知an=3×2n-1. ∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1. 11. 【解析】(1)依题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0)，则f′(x)=2ax+b. 由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x. 又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上得Sn=3n2-2n. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
