第八章 第二节 两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l1：y＝x，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为()A.π4 B．kπ＋π4(k∈Z)C.3π4 D．kπ＋3π4(k∈Z)解析：∵l1⊥l2，∴k2＝－1.故倾斜角为34π.答案：C2．(2011•南昌二模)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由两直线垂直⇔3m＋m(2m－1)＝0⇔m＝0或－1，所以m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．答案：A3．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.12 B．－12C．2 D．－2解析：∵l2、l1关于y＝－x对称，∴l2的方程为－x＝－2y＋3.即y＝12x＋32.∴l2的斜率为12.答案：A4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是()A．1 B．2C.12 D．4解析：∵63＝m4≠14－3，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2.答案：B5．(2012•武汉调研)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()A.22 B.2C．22 D．2解析：当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－lnx相切的切点时，点P到直线y＝x＋2的距离最小．设点P(x0，y0)，f(x)＝x2－lnx，则f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－1x，∴2x0－1x0＝1.又x0>0，∴x0＝1.∴点P的坐标为(1,1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为22＝2.答案：B二、填空题6．(2012•临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解之得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]7．(2012•南昌模拟)已知a，b为正数，且直线2x－(b－3)y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为________．解析：依题意得2b－a(b－3)＝0，即2a＋3b＝1,2a＋3b＝(2a＋3b)(2a＋3b)＝13＋6(ba＋ab)≥13＋6×2 ba×ab＝25，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝5时取等号，因此2a＋3b的最小值是25.答案：25三、解答题8．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵kPP′•kl＝－1，即y′－yx′－x×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×x′＋x2－y′＋y2＋3＝0.②由①②得x′＝－4x＋3y－95， ③ y′＝3x＋4y＋35. ④(1)把x＝4，y＝5代入③及④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－95－3x＋4y＋35－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.9．已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．解：法一：直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，kAP＝－1－10＋1＝－2，kAQ＝－1－20－2＝32，则－1m≥32或－1m≤－2，∴－23≤m≤12且m≠0.又m＝0时，直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，∴所求m的范围是[－23，12]．
