高三数学总复习知能达标训练第六章第七节 数学归纳法(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2012•怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案D2．用数学归纳证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是A．2k－1 B．2k－1C．2k D． 2k＋1解析增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案C3．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2＜k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．答案D4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1314(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边A．增加了一项12k＋1B．增加了两项12k＋1、12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1k＋1D．以上各种情况均不对解析∵n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，∴增加了两项12k＋1、12k＋2，少了一项1k＋1.答案C5．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－3解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故应选B.答案B6．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22(n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的项为A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.比较上述两个式子，n＝k＋1时，等式的左边是在假设n＝k时等式成立的基础上，加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案D二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012•淮南调研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)28．观察不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2.答案1＋12＋13＋…＋12n－1＞n29．(2012•东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．
