高三数学总复习知能达标训练第十章第十节 正态分布(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)等于A.15 B.14C.13 D.12解析由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝12.答案D2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析由图可知，μ2＞μ1，且σ2＞σ1.答案A3．(2012•烟台调研)如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线φ(x)＝12π 在x＝0时，取最大值12π，故σ2＝1，由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.答案D4．已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则Dη等于A．0 B．1C．2 D．4解析由X＝2η＋3，得DX＝4Dη，而DX＝σ2＝4，∴Dη＝1.答案B5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为A．0.998 7 B．0.997 4C．0.944 D．0.841 3解析标准正态分布N(0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率P＝0.997 4.答案B6．(2011•湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析∵P(ξ＜4)＝0.8，∴P(ξ＞4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ＜0)－P(ξ＞4)＝0.6.∴P(0＜ξ＜2)＝12P(0＜ξ＜4)＝0.3.答案C二、填空题(3×4分＝12分)7．设离散型随机变量X～N(0,1)，则P(X≤0)＝________.P(－2＜X＜2)＝________.解析由已知，得μ＝0，σ＝1，∴P(x≤0)＝12，P(－2＜x＜2)＝P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)＝0.954 4.答案12；0.954 48．(2012•枣庄一模)已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．解析∵P(X＞0.2)＝0.5，∴P(X≤0.2)＝0.5，即x＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x＝0.2时，φμ，σ(x)达到最高点．答案0.29．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.答案0.8三、解答题(38分)10．(12分)设X～N(10,1)．(1)证明：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)；(2)设P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18)．解析(1)证明因为X～N(10,1)，所以正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间[1,2]和[18,19]关于直线x＝10对称，所以 (x)dx＝ (x)dx，即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)
