第六章 第六节 直接证明与间接证明一、选择题1．(2012•张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数解析：“至少有一个”的否定“都不是”．答案：B4．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A5．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f(x1＋x22)<fx1＋fx22，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为()A．y＝log2x B．y＝xC．y＝x2 D．y＝x3解析：可以根据图象直观观察；对于C证明如下：欲证f(x1＋x22)<fx1＋fx22，即证x1＋x222<x21＋x222.即证(x1＋x2)2<2x21＋2x22.即证(x1－x2)2>0.显然成立．故原不等式得证．答案：C二、填空题6．(2012•肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1<cn.答案：cn＋1<cn7．(2012•邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)解析：若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③
