第八章 第六节 双曲线一、选择题1．(2011•安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2 B．22C．4 D．42解析：双曲线方程可变形为x24－y28＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.答案：C2．(2012•烟台模拟)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1 B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1 D．x2－y22＝1解析：椭圆x24＋y2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A、C.又双曲线x22－y2＝1经过点(2,1)．答案：B3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个顶点与抛物线y2＝20x的焦点重合，该双曲线的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为()A．±2 B．±43C．±12 D．±34解析：由抛物线y2＝20x的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线x2a2－y2b2＝1的顶点坐标为(5,0)，即得a＝5，又由e＝ca＝c5＝52，可解得c＝552，则b2＝c2－a2＝254，即b＝52，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝±ba＝±12.答案：C4．设F1、F2是双曲线x23－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时， • 的值为()A．2 B．3C．4 D．6解析：设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝23＋1＝4，S△PF1F2＝12|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1，x203－y20＝1，x20＝3(y20＋1)＝6， • ＝(－2－x0，－y0)•(2－x0，－y0)＝x20＋y20－4＝3.答案：B5．(2012•杭州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为()A.2 B.3C．2 D．3解析：设H(x，y)如图，OH：y＝bax，HF2：y＝－ab(x－c)，由y＝bax，y＝－abx－c，解得H(a2c，abc)，所以HF2的中点为M(a2＋c22c，ab2c)，代入双曲线方程整理得：c2＝2a2，所以e＝2.答案：A二、填空题6．(2011•潍坊模拟)双曲线x23－y26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析：由题意得：双曲线x23－y26＝1的渐近线为y＝±2x.∴焦点(3,0)到直线y＝±2x的距离为322＋1＝6.答案：67．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则 • 的最小值为________．解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则 ＝(－1－x，－y)， ＝(2－x，－y)， • ＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图像的对称轴为x＝18，∴当x＝1时， • 取得最小值－2.答案：－2三、解答题8．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程．解：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y2＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5.所以双曲线的标准方程是x24－y25＝1.9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证： • ＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
