第二章 第四节 函数的奇偶性及周期性一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝－x3，x∈R B．y＝sin x，x∈RC．y＝x，x∈R D．y＝12x，x∈R答案：A2．(2011•辽宁高考)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12 B.23C.34 D．1解析：∵f(x)＝x2x＋1x－a是奇函数，利用赋值法，∴f(－1)＝－f(1)．∴－1－2＋1－1－a＝－12＋11－a，∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝12.答案：A3．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝()A．3 B．2C．1 D．0解析：由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 011)＋f(2 012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 011)＋f(2 012)＝1＋2＝3.答案：A4．(2012•杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.则f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，f(－1)＝－f(1)＝－3.答案：A5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③ B．②③C．①④ D．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确．答案：D二、填空题6．如果函数g(x)＝2x－3，x>0，fx，x<0是奇函数，则f(x)＝________.解析：令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3.∴g(x)＝2x＋3.∴f(x)＝2x＋3.答案：2x＋37．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于________．解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝－2.答案：－2三、解答题8．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．解：当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
