一. 教学内容：
导数的综合应用、极限、复数
二. 教学重难点：
1. 理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值
2. 掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义
3. 了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算
【典型例题
[例1] 已知a为实数
在 
和
上都递增，求
的取值范围。
解：
，即
①
∴
当
时，
当
时，
②
设
当
时，
由①②知：
且
上是减函数，求
的取值范围。
解：
令
或
∵
∴
∴
，函数
为何值时，
在
的取值范围。
解析：（1）对函数
，得
从而
，
，其中
变化时，
的变化如下表：
|
x |
|
|
|
0 |
－ |
0 |
|
|
ㄊ |
极大值 |
ㄋ |
极小值 |
ㄊ |
当
时，
，
在
上为减函数，在
时，
时，
时，
时，
上为单调函数的充要条件是
，解得
综上，
上为单调函数的充分必要条件为
，即
的取值范围是
，
，若
存在单调递减区间，求<0" style='' > 的范围。
解：
<3" style='width:89.25pt; > 
令
，即<5" style=' > 
有解即可
∴
∵
（*）
设
，
∵
当
∵
不可能小于0
∴
又∵
且
∴
，即函数定义域为
，解得
，
x
（0，10）
10
（10，30）
0
－
ㄊ
ㄋ
① 当
取得最大值为
即
时，在
取得最大值
。
解：∵
∴
为方程
∴
[例7] 是否存在常数
对一切正整数
成立？证明你的结论。
解：分别将
∴
下面用数学归纳法证明
（1）当
时，成立
（2）假设
时，
左
由（1）（2）知等式对一切
成立
[例8] m取何实数时，复数
为实数
∴
②
∴
且
③
∴
或
【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知
在
上是单调增函数，则
的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知曲线
过点
，则这一曲线在该点的切线方程是（ ）
A.
D.
3. 已知
上有最大值6，那么此函数在
，其中
时，
，则
C. 极大值为5，无极小值
D. 极小值为
，无极大值
6. 函数
的极值点是（ ）
A.
B.
D.
；③
；④
时极限值为1的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
8.
C.
D.
。
（1）若
的取值范围。
（2）是否存在实数
，使
上单调递减？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由。
（3）证明
的上方。
2. 已知
的单调区间。
3. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本
，因为
，故
∴
得
，
显然
，其判别式
时恒有
为增函数
5. C
解析：令
或
∴
而当
时，
为
时，
，得
当
；
时，
不是极值点，同理
也不是
为
，④的极限为1，所以选D
8. B
解析：∵
∴
∵
在
上恒成立，即
恒成立
∵
∴ 只需
时，
，
（2）由
上恒成立
得
∴
当
即
上为减函数 ∴
，使
上单调递减
（3）证明∵
∴
上方
2. 解析：（1）当
，
，所以当
在
内为减函数，在
内为增函数
（2）当
解得
由所以
在
内为增函数，在（3）当
，解得
，解得
，所以当
时，
内为增函数，在
，得
时，
，所以
时，
元
因此，要使利润最大，该厂应生产这种产品60件，最大利润为9500元
