一. 教学内容:平面解析几何部分:圆的方程
二. 教学目的
1、掌握圆的标准方程与一般方程
2、掌握直线与圆、圆与圆的位置关系
3、掌握圆的切线、弦及相关问题
三. 教学重点、难点
1、重点:
(1)圆的标准方程与一般方程;(2)直线与圆的位置关系;(3)两个圆的位置关系;(4)有关切线与弦的结论.
2、难点:
(1)因为圆的特殊性,在解决有关直线与圆的问题时,经常运用由圆的几何性质所产生的式子,如弦长、切线等,一般不列出它们的方程组去分析、讨论。在判断直线与圆的位置关系时,充分利用点到直线的距离公式
②几何法:设直线AB,若圆的半径为l的距离为
(3)在解决有关圆的轨迹及综合问题时,要注意合理运用圆的几何性质。
四. 知识分析
【知识梳理】
1、圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为
4、直线与圆的位置关系有三种:相割、相切、相离。
5、直线
(1)几何方法:
圆心(a,b)到直线
d<r
d=r
d>r
(2)代数方法:
由
△>0
△=0
△<0
6、圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。
7、根据圆的方程,判断两圆位置关系的方法有:
(1)几何方法:
两圆
有两组不同的实数解
有两组相同的实数解
无实数解
【要点解析】
1、圆作为一种较特殊的曲线,它的方程来源于它轨迹的定义,这种根据曲线定义确定曲线方程的方法叫做轨迹法.
2、用二元二次方程表示的曲线也叫做“二次曲线”或“圆锥曲线”.圆是其中的特例,高中教材,只讨论不含“xy”项的二次曲线.同时,在用方程表示曲线时,一定要注意其限制条件.
3、在讨论含有字母参变量的圆方程的问题时,始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件,也可以理解为“定义域优先原则”的拓展.
4、在讨论直线与圆的位置关系时,要养成作图的习惯,即在解读完题意之后,通过图形(象)语言将其中的关系再展示出来,在观察和分析时,既可用平面几何知识,又可用代数方法解析,使解决问题的思路更宽.
5、求两圆公共弦所在的直线方程的方法
求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两个圆的方程相减即可.而在求两圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想方法的灵活运用.
6、解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时,要注意分类讨论、等价转化及数形结合等数学思想和方法的熟练运用.
【典型例题
命题角度1 求圆的方程
例1. 一个圆与y轴相切,圆心在直线
∴有
故所求圆的方程为
解方程组
可得
∵圆在直线
即
故所求圆的方程为
点评:确定一个圆需三个独立条件,题中显然给了三个条件:(1)圆与y轴相切;(2)圆心在直线
命题角度2 与圆有关的轨迹问题
例2. 如图所示,已知P(4,0)是圆
有
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动。设Q(x,y),R(
代入方程
整理得
(3)求
(3)<0" >
故
命题角度4 利用圆的方程解决实际问题
例4. 有一种大型商品,A、 B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时,点P所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点?
化简整理,得
(2)当P点在上述圆内时,
故此时到A地购物合算。
(3)当P点在上述圆外时,同理可知,此时到B地购物合算。
点评:在解决有关的实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.数学实际应用题,在多年来的高考中得到了重视,除了在选择题、填空题中出现外,近几年都有解答题出现,应引起重视,平时多练习,以提高解决实际问题的能力.
命题角度5 直线与圆的位置关系
例5. 已知圆解:用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求出圆心坐标,消去m就得关于圆心的坐标间的关系,就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、相切、相离,只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可;证明弦长相等时,可用几何法计算弦长。
(1)配方得:
则圆心到直线
因为圆的半径为
当
当
(3)对于任一条平行于l且与圆相交的直线
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
点评:判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解,也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断.
求圆的弦长有多种方法:一是直接求出直线与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为y后所得方程两根为
命题角度6 直线与圆相交问题
例6. 已知圆设P、Q两点的坐标分别为
即
∵P、Q在直线
将③④代入①,解得
代入圆的方程有
故可得∴由
点评:此题解法一中将
可设光线l所在直线方程为
解得
∴光线l所在直线的方程为
例8. 试求与圆
即有
圆C的半径
由于圆C与已知圆
对该式讨论:
①当
∴圆的方程为
以上两方程为所求圆的方程。
【模拟试题
1、过圆
A.
D.
A.
C.
A. 8 B. 3 C.
4、若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆
A.
6、过点(1,
9、曲线C:
(1)求证:对
(2)设l与圆C交于A、B两点,若
(3)求弦AB中点M的轨迹方程;
(4)若定点P(1,1)分弦AB为
【试题答案】
1、D 2、C 3、D 4、A 5、C
6、
10、
11、(1)k = 1时,方程为x = 1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线。
k≠1时,方程为
(2)