一. 教学内容:直线与平面垂直;平面与平面垂直;线面成角、面面成角
二. 教学重、难点:
1. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理,了解三垂线定理及其逆定理,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
2. 掌握直线与平面、平面与平面所成角的概念和作法,并会计算所求角的大小。
【典型例题
[例1] 如图所示,在棱长为
(1)求二面角
(2)M为棱
解:(1)在底面AC中 ∵ AC⊥BD,EF//AC
∴ BG⊥EF,连结B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF
∴ 二面角
∴ 二面角
而∴ ∴
证明:连结AC、BD交于O,连结OM、ON、PM、MC
则NO//PA,又PA⊥平面ABCD
∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD,又MO⊥CD
∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN
在
又 ∵ AM=BM,PA⊥AM,BC⊥BM ∴ ∴ PM=MC ∵ N为PC的中点 ∴ MN⊥PC
又
(1)证明AB⊥平面BCD;
(2)证明平面ACD⊥平面ABD;
(3)求二面角
解析:(1)证明:在
∴ ∴ 又 ∵ 二面角
∴ AB⊥平面BDC
(2)证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC,AB
∴ 平面ABD⊥平面BDC
又 ∵ BD=平面
又 ∵ DC
(3)作BQ⊥CE于Q,由平面几何知识,得
连结AQ,由三垂线定理,AQ⊥CE ∴
在
∴
(2)CF与平面BCD所成的角。
解:(1)如图,连结DE,取ED的中点K,连结FK、CK
∵ F是AD的中点
∴ AE//FK 则设正四面体棱长为
∴
(2)在正四面体ABCD中,∵ 各棱长都相等,E是BC的中点
∴ BC⊥AE,BC⊥DE ∴ BC⊥面AED ∴ 面ADE⊥面BCD,交线为DE
过A作AO⊥DE于O,则AO⊥面BCD
过F作FH⊥DE于H,则FH⊥面BCD,连结CH
∴
∵
[例5] 在三棱锥
(2)求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小。
解:(1)证明:∵ SA⊥平面ABC,AB、AC、BD
∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD ∴
∵ 又 DE⊥SC ∴ SC⊥平面BDE
(2)由(1)的结论及∴ 由AB⊥BC,得
在
∴
[例6] 如图所示,矩形ABCD中,PD⊥平面ABCD,若PB=2,PB与平面PCD所成的角为
(1)求CD的长;
(2)求PB与CD所成的角;
(3)求二面角
解:(1)∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥BC 又 BC⊥DC
∴ BC⊥平面PDC ∴
∴ 在
在
(2)∵ AB//CD ∴ PB与CD所成的角即为PB与AB所成的角,∵ PD⊥平面ABCD,AD⊥AB ∴ PA⊥AB
在(3)由点C向BD作垂线,垂足为E,由点E向PB作垂线,垂足为F,连结CF
∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥CE 又 CE⊥BD ∴ CE⊥平面PBD
CF为平面PBD的斜线,由于EF⊥PB ∴ PB⊥CF
∵
在
∴ 二面角
(2)AE等于何值时,二面角
解:(1)证明:∵ AD=AA1 ∴ 四边形ADD1A1为正方形
故
又
(2)过D作DH⊥CE于H,连结D1H
由于D1D⊥平面ABCD,EC
设
∴ 在
在
∴
∴ AE
【模拟试题】
一. 选择题:
1. 在正方形
C. BF⊥平面AEF D. BD⊥平面AEF
2. 空间四边形ABCD中,AC⊥BD,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH为( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能确定
3. 已知直线
A.
4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( )
A.
5. 在正三角形ABC中,D、E、F分别为各边的中点,G、H、I分别为DE、FC、EF的中点,将A.
6. PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 A.
8. 如图,在正三棱柱
二. 解答题:
1. 在四面体
2. 如图甲,在直角梯形PDCB中,PD//CB,CD⊥PD,PD=6,BC=3,DC=
(1)求证:AF//平面PEC;
(2)求二面角
3. 如图,四棱锥
(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小。
【试题答案】
一.
1. A
解析:由
2. C
解析:根据三角形中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形,又 ∵ AC⊥BD,∴ EF⊥FG,∴ 四边形EFGH为矩形。
3. A
解析:由已知4. C
解析:如图,
5. A
解析:如图,
6. C
解析:过C作平面PAB的垂线,则垂足O在设PC=
∴
7. D
解析:不妨设PM=PN=
∴
MN=
∴
8. D
解析:本题考查直线与平面所成的角,如图,E、O为B、D在平面A1C上的射影,则
二.
1. 解析:过点B作BE⊥AC于E,过E作EF⊥PA于F,连结BF
∵ PC⊥平面ABC ∴ BE⊥平面PAC ∴ BE⊥PA
∴ 设PC=1,则AB=BC=CA=PC=1 ∴ E为AC的中点
∴
∴
∴ 所求二面角的大小为
2. 解析:(1)证明:取PC的中点,连结FG、EG,则FG//CD,且∵ AE//CD,且
从而四边形AEGF为平行四边形 ∴ AF//EG ∵ ∴ AF//平面PEC
(2)∵ CD⊥平面PAD ∴ 平面PAD⊥平面ABCD
∵ PA=AD,∴ PA⊥BC ∵ BC⊥AB ∴ BC⊥平面PAB ∴ BC⊥PB
∴ 在∴ 二面角
∵ SD⊥底面ABCD
∴ DC是SC在平面ABCD上的射影,由三垂线定理得BC⊥SC
证法二:如图所示
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ BC⊥CD ∵ SD⊥底面ABCD ∴ SD⊥BC
又 (2)方法一:∵ SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形
∴ 可以把四棱锥S?DABCD补形为长方体
∴
在∴
方法二:如图所示,过点S作直线
∵ 底面ABCD为正方形 ∴
∴
∴
(3)如图所示,取AB中点P,连结MP、DP
在
∴ 在∴ 异面直线DM与SB所成的角为