一、教学内容:平面向量、平面向量的坐标运算
二、本周教学目标:
高考要求:
1、了解平面向量的基本定理
2、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.
三、本周知识要点:
1、平面向量的坐标表示:一般地,对于向量
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量.
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.
2、平面向量的坐标运算:
(1)若
(2)若
(3)若
(4)若
(5)若
若
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向
量
的
加
法
1、平行四边形法则
2、三角形法则
向
量
的
减
法
三角形法则
向
量
的
乘
法
满足:
向
量
的
数
量
积
【典型例题
例1、平面内给定三个向量
(1)求满足
(2)若
(3)若
解:(1)由题意得所以
(2)
(3)
由题意得
得
例2、已知
则
(2)
因为
所以
此时
则
例3、已知点
(1)当
(2)四边形
解:(1)
若
若
(2)因为若所以
故四边形
例4、如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F
解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(
∴
即
而代入(*)式整理得,y1?y2=-p2
因为
∴
也就是说直线AC经过原点O
解法二:设A(x1,y1),C(
欲证A、O、C共线,只需且仅需
又∴ 只需且仅需y1y2=-p2,用韦达定理易证明.
点评:两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题,使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁杂的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简单明了.
例5、已知向量
(1)证明:对于任意向量
(2)设
(3)求使
解:(1)设
∴(2)由已知得
(3)设
∴y=p,x=2p-q,即
例6、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足
解法一:设
由
于是
先消去
再消去
解法二:由平面向量共线定理,
当
因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程得小结:
1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算.
2、两个向量平行的坐标表示.
3、运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.
【模拟试题
1、若向量
2、点B的坐标为(1,2),
A、
C、
3、已知向量
A、
4、已知
A、(-4,10) B、(4,-10) C、(-1 ,
5、向量
A、(-2,0) B、(6,-2) C、(-6,2) D、(-2,2)
6、设向量
C、充要条件 D、不充分不必要条件
7、平行四边形ABCD的三个顶点为A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4),则点D的坐标是( )
A、(2,1) B、(2,2) C、(1,2) D、(2,3)
8、与向量
A、
12、已知A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),如果A,B,C三点共线,则x的值为 .
13、已知向量
【试题答案
1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、C 7、B 8、C
9、
12、