一. 本周教学内容:向量的概念及表示、向量的线性运算
二. 本周教学目标
1、了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示。
2、理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念,并会辨认图形中的相等向量或判断出与某一已知向量相等的向量。
3、理解向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量;理解向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算。
4、了解向量的减法,会作两个向量的减向量。
5、理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律;理解两个向量共线的含义,并能运用它们证明简单的几何问题。
三. 本周知识要点
(一)向量的概念及表示
1、向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母③用有向线段的起点与终点字母表示:< style='width:20.25pt; >
④向量
3、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作
4、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定
5、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
(1)向量
(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。
6、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7、相反向量
把与向量
2、作两向量的加法:如图,已知向量
特殊情况:
(2)当向量
(3)当
2、求作差向量:已知向量
减法的三角形法则作法:在平面内取一点
(四)向量的数乘
1、实数与向量的积:实数λ与向量
(1)|λ
2、运算定律 结合律:λ(μ
分配律:(λ+μ)
如果有一个实数λ,使
说明:(1)我们把不共线向量
(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量(4)基底给定时,分解形式惟一。λ1,λ2是被①向量
②单位向量都相等;?ぜ/p>
③任一向量与它的相反向量不相等;?ぜ/p>
④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。
解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量
②不正确。单位向量模均相等且为1,但方向并不确定。
③不正确。零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的。
④不正确。如图
评述:本题考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。
例2. 如图,一艘船从A点出发以
解:设
所以
因为
变式一:当
变式二:当
变式三:
例4. 如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M,且
例5. 设
∵A, B, D共线 ∴
即2
【模拟试题】
1. 下列各量中不是向量的是( )?ぜ/p>
A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度?ぜ/p>
2. 下列说法中错误的是( )
A. 零向量是没有方向的?? B. 零向量的长度为0?ぜ/p>
C. 零向量与任一向量平行?? D. 零向量的方向是任意的?ぜ/p>
3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A. 一条线段??B. 一段圆弧?っ. 圆上一群孤立点?? D. 一个单位圆?ぜ/p>
4. 下列等式:①
5. 下列等式中一定能成立的是( )?ぜ/p>
A.
C.
9. 已知
10. 在正六边形ABCDEF中,
12. 在平行四边形ABCD中,设对角线
【试题答案】
1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D ?シ. -
9. 13?ケ0.
12. 解:
∴
13. 解:∵
∴