第1 芝麻开门 点到成功●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出，其中 .令 ，则 .［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 的主意.［解Ⅰ］ 将等式 与右边的顶点三角形对应（图右），自然有 对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项 .［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项 ，并将和数列 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项 左上角的那个 . 因为 在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.因此得到 这就是本题第2空的答案.［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数 ，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数 就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从 这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是 这个数的左上角的那个数 . 用等式表示就是 ［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.［法1］ 由 知，可用合项的办法，将 的和式逐步合项. ［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为 ，故 ，从而［法3］ （2）将 代入条件式，并变形得
