小姐开门 何等轻松?●计名释义?有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.?后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”?大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”?小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”?数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.??●典例示范?【例1】 求证：抛物线没有渐近线.?【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.?抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？?【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ∵x= , 代入直线方程，化简得：ky2-2py+2pb=0. ①?可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程①有实根y0, 那么，y0→∞,或 , 方程①化为：2pby′2-2py′+k=0. ②?方程②应有唯一的零根, y′=0代入②得：k=0.?于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公共点( ), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.??【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC不是正三角形.?【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！?【解答】 假定△ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2≠x1, ∵kAB= , ∴直线AB的方程为：即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0.? 点C (x3, y3)到AB的距离.但是|AB|=∴S△ABC = = (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).?即S△ABC为有理数.?另一方面，S△ABC = ①?∵|AB|≠0, ∴S△ABC为无理数. ②?①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.??【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于【分析】 三数中至少有一个不小于 的情况有七种，而三数中“都小于 ”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.
