向量开门 数形与共?●计名释义?非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.?向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.??●典例示范?【例1】 α,β为锐角，且sinα-sinβ= ,?cosα-cosβ= ，求tan(α-β)之值.?【解答】 如图，设A(cosα,?sinα),B(cosβ,?sinβ)为单位圆上两点，由条件知：0<α<β< .?那么：=（cosα- cosβ,?sinα- sinβ）= .?∴| |= ，| |=| |=1.? 例1题解图△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) = .?∴?sin(α-β)= ,??tan(α-β)= .?【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.??【例2】 设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤ ?【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|•|n|=?∵m•n=|m|•ncos（m,n）≤|m|•|n|.? ∴ac+bd≤ .?【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几何中又能起作用吗???【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC1?之长为 .?【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事??向量的数量积公式可以保驾护航.?对！走向量法解题的道路.?【解答】 如图所示，∴ ?==1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6?∴| |= .? 例2题解图【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是| |2= 的运用奇妙.?注意： 与 所成角等于 与 所成角，是60°而不是120°.??●对应训练?1?如图,在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.?(Ⅰ)求证： ；?(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示).? 第1题图2?已知a,b∈R+，且a≠b，求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).?3?在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.??●参考答案?1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设 =x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴ =(x,-a,-a)， =(-a,a-x,-a).?∵ • =(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，∴? ⊥ .?(2)VB′—BEF?= S△EEF•| |= • (a-x)•x•a= a(a-x)•x≤ a• ，当且仅当a-x=a，即x= 时,?(VB′—BEF)max = ，此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.?设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B
