方程开门 欲擒故纵?●计名释义?数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容.?方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”.?方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式——方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来.??●典例示范?【例1】 求二项式 展开式中的常数项.?【分析】 这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数.?【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C【插语】 在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r)?【续解】 由此得Tr+1=C r=…=（-1）rC x ?欲Tr+1为常数，只须 =0.?【插语】 按“函数值”满足的条件，转入方程.?【续解】 解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C =210.?【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”.??【例2】 求?sin20°cos70°+sin10°sin50°?的值.?【解答】 令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°?，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°?,?则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)?=sin90°+cos40°=1+cos40°? ①?x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin50°-cos10°cos50°)?=sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°- ]? ②?①+②得x= ，故sin20°cos70°+sin10°sin50°= .?【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一.??【例3】 已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k，且 ≤k≤ ，求实数a的取值范围.?【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为? x2=-4(m-1)(y-m),?由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上,?∴a2=-4(m-1)(a-m) ①?而MP的斜率为k= ，故m=ak+a.?将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1) (-ak),?即4ak2+4(a-1)k-a=0 ②?根据题意,方程②在区间[ ， ]上有实根.?令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为 k= <0?∴ ≤a≤4.? ∴实数a的取值范围为［ ,4］.?【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.??【例4】 （Ⅰ）已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p的值；（Ⅱ）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列{cn}不是等比数列.?【解答】 （Ⅰ）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，?∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得? (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.?将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3.
