一. 教学内容:复习直线和圆的方程
二. 重点、难点:
(一)知识点
(二)重点知识反刍梳理(直线方程)
1. 直线的倾斜角与斜率的概念
(1)直线的倾斜角与斜率的关系:
①任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率。
(3)平面上直线与二元一次方程是一一对应的。
2. 两条直线的位置关系:
注意到:“到角”公式与“夹角”公式的区别。
(2)判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可用斜率的关系来判断;若两直线的斜率有一不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断。
(3)点到直线的距离公式
3. 简单的线性规划
(1)在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示在直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域。
(2)简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下,求线性目标函数ax+by的最大值或最小值问题。一些实际问题可以借助这种方法加以解决。
4. 圆的方程
(1)曲线和方程的关系
(2)圆的方程的形式
确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有三种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围。
半径。
(3)直线与圆的位置关系的判定方法
(4)两圆的位置关系的判定方法
设AC边上的高为BH
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
分析:∵O、P、Q、R四点共线,P点横坐标为a是已知的,另条件等式是线段的二次齐次,故可转化为横坐标间的二次齐次,又R点在圆周上,故设R点坐标(xR,yR)为参数,以下只需列出三个等式消参。
详解:
例3.
分析:已知l的斜率k即可。由光学知识知道入射角等于反射角。于是求k的途径之一是只需l与已知圆关于x轴的对称圆相切;途径之二是利用入射光线l与反射光线在x轴的反射点处关于x轴的法线方向对称。
解:方法一:
方法二:
因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线l'所在直线的方程是:
这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1
以下同解法一。
小结:(1)方法一是非构造性解法,方法二是构造性解法,显然解法一简捷明快,但需作深入分析才能找到入射光线与对称圆相切的关系。多想出智慧!(2)对方法二还可作以下修正,∵此时入射光线l'的斜率互为相反数,A点关于x轴对称点为A'(-3,-3),设入射光线l斜率为k,反射光线方程为y+3=-k(x+3),即kx+y=-3(x+1)。
例4.
与圆C外切,若点A对所有满足条件的MN,使∠MAN为定角,试求定点A的坐标及定角∠MAN的大小。
分析:由条件先找出以MN为直径的圆的圆心与半径之间的数量关系,继而发现以MN为直径的圆必成对关于y轴对称,所以定点必在y轴上且上、下方均有可能,再从两个特殊的动圆入手,猜出定点坐标和定角大小,最后作一般性证明。
解:设以MN为直径的圆的圆心P(a,0),半径为r
∵动圆与定圆相切
因为以MN为直径的圆必成对关于y轴对称,所以设定点A(0,b)
以下作一般性证明:
当A(0,3)时同理可得
解:如图,在线段AB上任取一点P,分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地。
建立如图所示的坐标系,则
例6.
(3)设A、B为曲线C2上任意不同两点,证明直线AB与直线y=x必相交。
(1)解:曲线和关于直线y=x对称,则g(x)为f(x)的反函数
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(3)证明:设A、B为曲线上任意不同两点(x1,y1),(x2,y2)
又直线y=x的斜率为1,直线AB与直线y=x必相交。
例7.
例8. 已知:如图射线OA为y=kx(k>0,x>0),射线OB为y=-kx(x>0),动点P(x,y)在∠AOx的内部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四边形ONPM的面积恰为k。
(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域。
解:
则
由动点P在∠AOx的内部,得0<y<2x
(2)由0<y<kx,得:
【模拟试题】
一. 选择题。
1. 已知点
A.
2. 实数x,y满足
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若点
A.
B.
C.
D.
5. 已知点
A.
6. 曲线
A.
二. 填空题。
7. 已知两条直线
8. 若原点O在直线
10. 圆
三. 计算题。
11. 设方程
12. 两直线分别绕
13. 有两种物质(药品和粮食),可用列车和飞机两种方式运输,每天每列车和每架飞机运输效果如下:
在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨粮食和1500吨药品的任务?
14. 一个圆满足:(1)截y轴所得的弦为2;(2)被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线
15. 设曲线
【试题答案】
一. 选择题。
1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A
二. 填空题。
7.
9.
10.
三. 计算题。
11. 解:(1)设所表示的两条直线为
<1>×<2>得:
解得:
12. 解:设
因为M是AC和BD的交点,所以它的坐标同时满足以上两直线方程,由<1>、<2>两式组成方程组
解得:
13. 解:设列车x列,飞机y架,则
由条件整理得:
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有
又点
所以有
当且仅当
从而d取最小值,因此有
解此方程组得
15. 解:
若(0,1)