三角函数

一. 教学内容：三角函数

【知识结构】

二、高考要求

（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）

（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、 < 1271864542"> 的物理意义。

三、热点分析

1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.

2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题

3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.

四、复习建议

本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：

（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

（2）对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。

（3）三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。

（4）由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（2003年高考应用题源于此）

（5）重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋ （k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.

（6）加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.

（7）变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.针对高考中的题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.

（8）在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.

在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。

【典型例题】

两角和与差的三角函数

例1. 已知解：设 = = ∴ =

从而可得： 的最值。

解：∵ ∴- ， ∴∵ ∴即∴

y=

当sina∈[ ，1]时函数y递增，∴当sina= 时 ymin= ；

当sina∈ 时，函数y递减，∴当sina=0时，ymin=

例3.

解：∵ A B C=π，

三角函数的图象与性质

例4. 求函数解：∵

∴

当

例5. 已知函数f（asin²asinx a、b为常数，a<0），它的定义域为[0， ]，值域为[－3，1]，试求解：x）=2x－2 xcosa b－1

=x）－ x =－2asin

∵0≤x≤ ∴ ≤2 ∴

∵a≤－2a

∴3asina b－1≤b－1

∵值域为[－3，1] ∴

例6. 已知函数y轴上的截距为1，它在 ）和（ ）.

（1）求y=x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的y=g（y=g（y=g（解：（1）由已知，易得A=2.

，解得 ，得

. 又 ，解得 . ∴ 为所求.

（2）压缩后的函数解析式为 再平移，

得

	0
	0	2	0	-2	0

例7. 在Δ 的最小值.并指出取最小值时ΔABC的形状，并说明理由.

解：令

∵在Δ ，∴

又 .

∴

当 时，y取得最小值 ；

由 知 知 ，B=60°；

故 时，Δ ） b；（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.

） b的半个周期的图象.

∴ ，由图示A=<0" > （30－10）=10，b=<1" > （30 10）=20，这时y=10sin（ x <3" style=' > ） 20，将x=6，y=10代入上式可取 （<9" style='' > ，且均为常数），

（1）求函数 的最小正周期；

（2）若 在区间 上单调递增，且恰好能够取到 的值.

）、一种三角函数的形式.

（1）

（其中 ）

所以，函数 的最小正周期为 （2） 由（1）可知： .

另外，由 在区间 上单调递增，可知： ，所以， .

解之得： ，试比较 =解：观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等.

初步判断便可以确定： 都是周期函数，且最小正周期分别为 . 所以，只需考虑 为偶函数， 的范围继续缩小？

事实上，当 >0， > 的余弦函数，把 看作是关于 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性.

至此为止，可以看出：由于 和 ， 与 ）－ －

所以，利用余弦函数在 < . 也即

综上， .

2. 函数f（x）=cos2x sin（ x）是（ ）

A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数

C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数

二、填空题

3. 函数f（x）=（ ）^｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.

4. 设ω＞0，若函数f（x）=2sinωx在［－ a－ 在闭区间［0， ］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

【试题答案

一、

1. 解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈（0， ）时，y＜0.

答案：D

2. 解析：f（x）=cos2x sin（ x）=2cos²x－1 cosx=2［（cosx ）－1.

答案：D

二、3. 解：在［－π，π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－ ，0］及［ ，π］.而f（x）依｜cosx｜取值的递增而递减，故［－ ，0］及［ ，π］为f（x）的递减区间.

4. 解：由－ ≤ωx≤ ，得f（x）的递增区间为［－ ， ］，由题设得

三、5. 证明：（1）∵－1≤sinα≤1且f（sinα）≥0恒成立，∴f（1）≥0

∵1≤2 cosβ≤3，且f（2 cosβ）≤0恒成立.∴f（1）≤0.

从而知f（1）=0∴b c 1=0.

（2）由f（2 cosβ）≤0，知f（3）≤0，∴9 3b c≤0.又因为b c=－1，∴c≥3.

解：（3）∵f（sinα）=sin²α （－1－c）sinα c=（sinα－ ）² c－ ²，

当sinα=－1时，［f（sinα）］max=8，由 解得b=－4，c=3.

6. 解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a²=x² y²－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy（1－cosα）.

∵0＜α＜π，∴1－cosα＞0，∴xy≤ （当且仅当x=y时取“=”号），故此时谷仓的容积的最大值V1=（ xysinα）b= .同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2= ab²cos ，

∵a＞b，∴V1＞V2

从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为 a²bcos .

7. 解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP= ，NP=Rsin ，

∴PQ= ）.S矩形MNPQ=QP?NP= sin（45°－ －45°）－ ］≤ －45°）=1，即θ=22.5°时，

S矩形MNPQ的值最大且最大值为 R².

8. 解：∵在［－ ］上恒成立，

∴原函数即是y=2log2cosx，

在x∈［－ ≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，

也就是在x∈［－

综合上述知，存在