一. 本周教学内容:三角函数的性质及三角恒等变形
【考点梳理】
一、本章考试内容
1. 角的概念的推广,弧度制.
2. 任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式.
3. 两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切.
4. 正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(ωx
5. 余弦定理、正弦定理.利用余弦定理、正弦定理解斜三角形.
二、本章考试要求
1. 理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算.
2. 掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、偶函数的意义.
3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
4. 能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx
6. 会由已知三角函数值求角,并会用符号
【命题研究】
分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有25分,约占17%.试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求值,解决简单的综合问题,除了在填空题和选择题中出现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是高考命题的一个常考的基础性的题型.其命题热点是章节内部的三角函数求值问题,命题新趋势是跨章节的学科综合问题.数学试题的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新能力的考查.
如:福建卷的第17题设函数
(2)若函数
【复习策略】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出“和、差、倍角公式”的作用,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点.第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度.当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜.由于三角函数解答题是基础题、常规题,属于容易题的范畴,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势.总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力.
解答三角函数高考题的一般策略:
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.
(2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系.
(3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化.
三角函数恒等变形的基本策略:
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ sin2θ=tanx?cotx=tan45°等.
(2)项的分拆与角的配凑.如分拆项:sin2x 2cos2x=(sin2x cos2x) cos2x=1 cos2x;配凑角:α=(α β)-β,β=
(3)降次,即二倍角公式降次.
(4)化弦(切)法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切).
(5)引入辅助角.asinθ bcosθ=
【典型例题分析与解答
例1、
解法二:(从“名”入手,异名化同名)
所以
例3、为使方程
分析一:由方程形式,可把该方程采取换元法,转化为二次函数:设sinx=t,则原方程化为
分析二:
解法如下:
点评:换元法或方程思想也是高考考查的重点,尤其是计算型试题.
例4、已知向量
所以
(2)
例5、已知向量
(1)求向量
解析:(1)设
由①、②解得:
(2)由
由
=
例6、如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若BC=a,∠ABC=
(1)用a,
令
函数
点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例.通过引入角度,将图形的语言转化为三角函数的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数
A.
C.
2、下列函数中,以
A.
B.
D.
3、已知
A.
4、已知
C.
5、函数A、
6、如图,半径为2的⊙M切直线AB于O点,射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB.旋转过程中,OC交⊙M于P,记∠PMO为x,弓形PnO的面积为
7、tan15°-cot15°=( )
A. 2 B.
8、给出下列的命题中,其中正确的个数是( )
(1)存在实数α,使sinαcosα=1;
(2)存在实数α,使sinα cosα=
(3)
A.
A.
11、若点P
D.
12、定义在R上的函数
二、填空题
13、
15、给出问题:已知
(1)求函数
18、(1)已知:
20、在
(1)求
21、已知向量
【试题答案】
1、A 2、D 3、A 4、A 5、A 6、A
7、D 8、B 9、B 10、D 11、B 12、D
13、
17、解:(1)
定义域:R,最小正周期为
(2)
所以
(2)
当
当
19、解:
亦即
解得
当
当
当
(2)
21、解:(1)
(2)由(1)知,令
22、解:以L为x轴,D点为坐标原点,建立直角坐标系,
设AB的中点为M,则根据对称性有
设动点C的坐标为
当且仅当
故该边锋在距乙方底线