第16计 摆渡开门 萍水相逢?●计名释义有道数学题，求证π> . 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.?因为π>3，又3> ，所以π> .?这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.?过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.?●典例示范?【例1】 已知曲线C ： ，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.?【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q（x′, y′)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程.?此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.?【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得即得C1的方程得 ?【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.??【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.?【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：??设AB中点为M(x,y)，那么: ，有:?∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］?=（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］?已知|AB|=2. ∴（1+4x2)（y-x2)=1?所求点M的轨迹方程为：y=x2+【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.??【例3】 椭圆 (a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α= 的直线l交椭圆于A、B两点，已知AB的中点为M .?（1）求椭圆的方程；?（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2= 的两点，求证：|kOP•kOQ|为定值.?【分析】 按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大.?请欣赏如下解法：?【解】 （1）椭圆的右准线为x=1，即 ?∴a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.?所求椭圆应为： 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） ①?设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:???∵kAB= ，又AB中点为M ，∴x1+x2=-1，y1+y2=以上全代入②：1= ,? ∴1-c= ，c= ，代入①： x2+y2=所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.?（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).
