第34计 参数开门 宾主谦恭?●计名释义?参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.?在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.?有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.??●典例示范?【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+ =1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知 与 共线， 与 共线，且 • ＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.?【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.?幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.?【解答】 如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.?【插语】 题设中没有这个k，因此是“无中生有”式的参数.我们其所以看中它，是认定它不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k).? 例1题解图【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则?x1= ，?从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2= ,? 亦即|PQ|= .?【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)= 标志着主宾易位，问题已经发生了转程.?【续解】 (?)当k≠0时，MN的斜率为- ，同上可推得，?｜MN｜= ,?故四边形S＝ |PQ|•|MN|= .?令u=k2+ ，得S= .?因为u=k2+ ≥2，当k=±1时，u=2，S= ，且S是以u为自变量的增函数，所以≤S<2.?【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.?【续解】 (?)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2 ，|PQ|= ，S= |PQ|•|MN|=2.综合(?)(?)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 .?【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.??【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式 恒成立的x的取值范围.?【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.?【解答】 y= 为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.?即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成
