1、补成三角形
例1 如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5。求
。
图1
解：延长AD、BC交于点E（如图1），由条件可知
∠E=30°
所以
，
于是
所以
故
例2 如图2，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若∠BAC=60°，∠ACB=20°，∠DEC=80°，AC=1，求
。
图2
解：延长AB到F，使AF=AC，连结FC，由∠BAC=60°，得
△ACF是等边三角形。
作∠BCF的平分线CG，交AF于G点，则
∠1=∠2=∠3=20°，
∠GBC=∠A+∠2=60°+20°=80°=∠DEC
所以
又
所以
于是
2、补成平行四边形
例3 如图3，六边形ABCDEF的六个内角相等，且AB+BC=11，AF－CD=3，求BC+DE的值。
图3
分析：由六边形ABCDEF的六个内角相等，得六边形ABCDEF的内角都是120°。
延长FA、CB交于P点，延长CD、FE交于Q点，则四边形CQFP是平行四边形，△ABP、△DEQ是等边三角形。
于是有PA+AF=CD+DQ
所以
又
所以
又AB+BC=11
所以BC+DE=14
3、补成菱形
例4 如图4，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4。求
。
图4
解：延长EA、CB交于F点。由∠A=∠B=120°易得△ABF是等边三角形，
所以四边形CDEF是菱形，
故
4、补成矩形
例5 八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，各边长度如图5所示，求八边形ABCDEFGH的周长。
图5
解：由八边形ABCDEFGH的八个内角相等，得其内角都是135°。
延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形。
设AH=x，GH=y
由MQ=NP，MN=PQ，得
所以
故八边形ABCDEFGH的周长
。5、补成正方形
例6 如图6，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，求
。
图6
分析：由于∠BAC=45°，分别将△BAD、△CAD沿AB、AC向外翻折至△BAF、△CAE处，延长FB、EC交于G点，则四边形AEGF是正方形。
设AD=x，则
在△BCG中，
即
解得
或
（舍去）所以
6、补成梯形
例7 如图7，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，
，
，CD=6，求AD。
图7
分析：由于∠ABC=135°，∠BCD=120°，故可过点A作AE垂直于CB的延长线于E，过点D作DF垂直于BC的延长线于F，则△ABE是等腰直角三角形，△CDF是含30°角的直角三角形，所以四边形ADFE是直角梯形。
过A作AM⊥DF于M，则
所以
7、补成正六边形
例8 六个半径为1的圆的位置如图8所示，求中间没被盖住的空白部分的面积。
图8
解：如图8，连结相邻两圆的圆心，得六边形ABCDEF是正六边形。
故
8、补成整圆
例9 如图9，半圆的O的直径在梯形ABCD的下底AB上，且与其余三边AD、DC、CB相切，若BC=2，AD=3，求AB的长。
图9
解：将半圆O补成整圆，作平行于AB的切线EF，交DA、CB的延长线于E、F，则
AB是梯形CDEF的中位线，
故
从以上分析可以看出，“补形法”在解有关几何题时，有它独特的魅力，可以使解答简单流畅，别具一格，使一些复杂的问题迎刃而解。开拓了学生的思路，提高了解题能力，对培养学生的兴趣也大有裨益。
练习：
1、六边形ABCDEF的六个内角都是120°，其连续四边的长分别是AB=3，BC=6，CD=5，DE=4，求六边形ABCDEF的周长和面积。
2、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE⊥BD的延长线于E，
。求证BD平分∠ABC。3、四边形ABCD中，AB=AC=AD=a，CD=b，AD//BC，求对角线BD的长。
4、△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于E。求证
。5、在四边形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6。求AB。
6、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为形内一点，BP=BA，∠ABP=30°，求证PA=PC。
答案：
1、补成等边三角形，29；
2、补成等腰三角形
3、补成等腰梯形，
4、补成等腰三角形
5、补成矩形，
6、补成正方形。
