例1
如图所示，AD、DC、CB分别切半圆⊙O于点A、E、B，且AD=3cm，BC=5cm，求直径AB的长度。
解：过点D作DF⊥CB于点F
∵AD、CB是切线
∴AD⊥AB，CB⊥AB
∴四边形ABFD是矩形
∴DF=AB，AD=FB ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm
又∵AD、DC、CB是⊙O的切线，由切线长定理可知
∴AD=DE，CE=CB ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm
∴在Rt△DCF中，DF=■=■=2■cm
∴AB=2■cm
本题是典型的运用切线长定理的例题，其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和，再结合作高这种辅助线的做法，最后运用勾股定理求出直径。
例2
如图所示，CD切半圆⊙O于点E，AB为直径，AD⊥CD，BC⊥CD且AD=3cm，BC=5cm，求CD的长度。
解：连接OE，过点A作AF⊥CB于点F
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴四边形AFCD是矩形 ∴DC=AF，AD=CF
∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm
又∵CD切半圆⊙O于点E ∴OE⊥CD于E
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴AD∥OE∥CB，且AB为直径，O为圆心
∴点E是DC的中点
∴线段OE是梯形ABCD的中位线
∴OE=■(AD+BC)=4cm
∴AB=2OE=8cm
∴在Rt△ABF中，AF=■=■=2■cm
在做完例1后，同学们会认为例2和例1图形很类似，是同类题，但实际差别较大。例2中只有一条圆的切线，所以不符合切线长定理的条件，因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和，而是运用了梯形中位线的知识求出圆的半径，再用勾股定理计算CD的长。
例3
相交两圆的半径为■和■，公共弦为4，求这两个圆的圆心距。
解：本题分两种情况
第一种情况，公共弦AB与连心线O1O2交于点C(即O1O2=O1C+O2C)
∵O1O2垂直平分弦AB ∴AC=2
∴在Rt△AO1C中，O1C=■=■=■
∴在Rt△AO2C中，O2C=■=■=1
∴O1O2=O1C+O2C=■+1
