“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析

处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。

一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题

找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V₀从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。

分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V₀的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。由图可知粒子圆周运动的半径由有。再由洛仑兹力作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之。

②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为。

【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B₁＝2B₂，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V₀沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）

分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。粒子从点O出发第6次穿过直线ab时的位置必为点P；故粒子运动经历的时间为，而粒子的运动周期代入前式有。粒子经过的路程。点O与P的距离为。

二、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的范围型问题

寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R₀”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R₀的大小关系确定范围。

【例3】如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V₀垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF射出则初速度V₀应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

分析：粒子从A点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图示，作出A、P点速度的垂线相交于O’即为该临界轨迹的圆心，临界半径R₀由有；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R₀，即 有。

由图知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知。

【例4】如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS＝L，档板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；①若电子的发射速率为V₀，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？②若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？③若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速度为，则档板上出现电子的范围多大？

分析：电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O。

①要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足，由。

②要使电子从S发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径，由有。

③当从S发出的电子的速度为时，电子在磁场中的运动轨迹半径，但由于电子发射出的方向不同则其轨道不同，因而到达MN板的位置不同。由此作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在P₁P₂间；对SP₁弧由图知，且该电子的发射方向与SO必成30°向SO下方发射；对SP₂弧由图知，且该电子的发射方向与SO成α为而向SO的左上方发射。

三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极值型问题

寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。

【例5】图中半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的α粒子；已知α粒子质量为，电量，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？

分析：α粒子从点O进入匀强磁场后必作匀速圆周运动，其运动半径由一定；由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同；要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ 最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大；因而圆形磁场区域的直径OP即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦；故α粒子从点O入磁场而从点P出场的轨迹如图圆O’所对应的圆弧示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。由前面计算知△SO/P必为等边三角形，故α＝30°且θ＝2α＝60°。此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。

【例6】一质量m、带电q的粒子以速度V₀从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。

分析：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。由于三角形ABC为等边三角形，故图中 α＝30°，那么 ，故最小磁场区域的面积为。

【例7】有一粒子源置于一平面直角坐标原点O处，如图所示相同的速率v₀向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m，电量为e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场后，都能平行于x轴沿+x方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积s。

分析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R＝mv₀/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O₁，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O₁O₂O_n。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆O₂而言，要使电子能平行于x轴向右飞出磁场，过O₂作弦的垂线O₂A，则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心O₂沿y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O₁O₂O_n沿y方向向上平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP与弧OBP所围。利用正方形OO₁PC的面积减去扇形OO₁P的面积即为OBPC的面积；即R^₂-πR^₂/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为S＝2（R^₂-πR^₂/4）＝（π/2 -1）（mv₀/Be）^₂。

四、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题

抓住多解的产生原因：①速度方向的不确定引起的多解，②与自然数相关的多解即粒子运动时间与运动周期的倍数不确定。

【例8】在前面“【例4】”中若将档板取走，磁场磁感应强度为B，当电子以速率从点S射出后要击中O点，则点S处电子的射出方向与OS的夹角为多少？从S到点O的时间多少？

分析：由已知条件知电子圆周运动的半径，电子从点S射出后要经过点O即直线SO为圆的一条弦，由图知必有两种运动轨迹存在；由于题中SO＝L＝r，故∠OSO₂＝60°，那么电子从点S的发射速度V₂的方向与SO所成的夹角α＝30°；图中∠OSO₁＝60°，故电子的发射速度V₁的方向与SO所成的夹角θ＝150°。

【例9】一质量m带电q的粒子以速率V垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子经过一段时间受到的冲量的大小为mv，粒子重力不计。则此过程经历的时间为多少？

分析：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径，右图示设粒子的初位置为a，因其受冲量的大小为mv而方向未知故必有右图中的两种情况，即未动量的方向有P₁、P₂两个，对应的冲量方向仍有I₁、I₂两个。粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为mv不变，由动量定理可知而；故粒子在该过程中经历的时间为，，其中。

【例10】在半径为r的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B；一质量为m带电+q的粒子以速度V从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A处射出；则B必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间？

分析：由于粒子从A处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从A处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n（不含返回A处并从A处射出的一次），由图可知，其中n为大于或等于2的整数（当n＝1时即粒子必沿圆O的直径作直线运动，表示此时B＝0）；由图知粒子圆周运动的半径R为，再由粒子在磁场中的运动半径可求出。

粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得，粒子从A射入磁场再从A沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：，将前面B代入T后与共同代入前式得。

五、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的动力学问题

注意洛仑兹力不做功，洛仑兹力的方向将随物体的运动方向的变化而发生相应的变化；正确结合变速圆周运动中的动力学关系与能量守恒定律处理。

【例11】金属小球质量m带电-q，由长L的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的O点，然后将小球拉到θ＝600处由静止释放，小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为0；求①磁场的磁感应强度B＝？②小球住复摆动中悬线上的最大张力多少？

分析：①小球从点A由静止释放后在绕点O运动中必同时受到重力、线的拉力及洛仑兹力作用，由左手定则知小球从A向P运动中洛仑兹力方向必沿半径指向圆心，且洛仑兹力对小球不做功；故小球到达P点的速度大小为……⑴；小球在P点受力如图示由圆周运动有……⑵；……⑶；由⑴⑵⑶共得，由“⑴”求出故。

②小球从右向左运动或从左向右运动中由于所受洛仑兹力的方向将发生变化故悬线上的张力大小将作相应的变化，分析可知当小球从左向右运动经过点P时线上的张力必有最大值，小球从左向右经过点P时的速度大小仍为有 ；小球从左向右过P点时其受到的洛仑兹力方向必沿半径向外，故P点处线上的张力T_p为可得，将及θ＝600代入前式得到。

总之在处理带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题中，我们必须将物理规律与数学知识紧密结合，准确分析粒子运动过程及临界状态与极值条件；处理带电粒子在磁场中的变速圆周运动问题时，时刻注意洛仑兹力的方向变化并在解答中注意洛仑兹力不做功，正确利用动力学规律与能量守恒定律。