追及与相遇问题

一. 本周教学内容：追及与相遇

二. 知识要点整合：

追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。

追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键。速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。

在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。

解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。

1. 追及

追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。

如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。

再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。

“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等，即v甲＞v乙，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上去，若v甲＜v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。

两物体恰能“相遇”的临界条件：两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同。

2. 相遇

同向运动的两物体追及即相遇，分析同1。

相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

三. 解题方法指导：

1. 解“追及”“相遇”问题的思路：

解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等。

解题的基本思路是：① 根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图；② 根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程。注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。③ 由运动示意图找出两物体位移间关联方程。④ 联立方程求解。

运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：解析法、图象法、极值法等。应适当地做些一题多解的练习，以开启思路，培养发散思维的能力。但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主。通过适当的练习后，总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、 “恰好不相碰”等临界问题，应在思考的基础上总结出临界状态的特点，找出临界条件。

2. 分析“追及”“相遇”问题应注意：

① 分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如“两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。两个关系是时间关系和位移关系。其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口，也是解题常用方法。因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。

养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。

② 分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。

特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。

③ 仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。往往对应一个临界状态，由此找出满足相应的临界条件。

分析：司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。

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解法三：作出两车运动的速度?D时间图像如图所示，由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于s时，两车不会相撞。

，要使两车不相撞，即

解析：由于两车同时同向运动，故有v甲=v0 a2t，v乙=a1t

① 当a1<a2时，a1t<a2t，可得两车在运动过程中始终有v甲> v乙，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次；② 当a1=a2时，alt=a2t，可得v甲>v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次：③ 当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲>v乙，随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大；当alt?Da2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t?Da2t>v0，则有v甲<v乙，若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲<v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后v甲=v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲车己超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲<v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，别两车能相遇两次。

①

① 当a1<a2 时，①式t只有一个正解，别相遇一次。

② 当a1=a2 时，x甲?Dx乙= v0t十 a2t²?D a1t²=v0t=x，

所以t= <2（a1?Da2）x，①式无解，即不相遇，

若 ＞2（a1?Da2）x，①式t有两个正解，即相遇两次。

解法二：利用v?Dt图象求解，

解： ，小球在空中运动的时间为 个球在 后抛出，则在某一时刻 这两个球的位移分别为<4" style= > （1）

<5" style='width:138pt; > （2）

两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即

其中 表示第一个小球和 后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。

当 ，这是与第二个小球相遇而过的时刻；

当 ，这是与第三个小球相遇而过的时刻；

当 时， ，这是与第五个小球相遇而过的时刻；

当 ， ， ， ， 。当然第一问同样可以迎刀而解。

【模拟试题】

1. 甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象由图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动

B. 两物体两次相遇的时刻分别为2 s末和6 s末

　　C. 乙在前4 s内的平均速度等于甲的速度

D. 2 s后甲、乙两物体的速度方向相反

a启动时，有一辆匀速前进的自行车以速度

3. 甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标，从此开始甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（ ）

　　A. 甲车先通过下一个路标 B. 乙车先通过下一个路标

　　C. 丙车先通过下一个路标 D. 条件不足，无法判断

4. 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）

A. 1s B. 2s C. 3s D. 4s

5. 汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s²的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（ ）

A. A车在加速过程中与B车相遇?ゼ/p>

B. A、B相遇时速度相同?ゼ/p>

C. 相遇时A车做匀速运动?ゼ/p>

D. 两车不可能再次相遇?ゼ/p>

6. 同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动。若A在B前，两者可相遇______次，若B在A前，两者最多可相遇______次。

7. 从相距30 km的甲、乙两站每隔15 min同时以30 km/h的速率向对方开出一辆汽车。若首班车为早晨5时发车，则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到 辆从乙站开出的汽车。

8. 一矿井深125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则：

（1）相邻两个小球下落的时间间隔是 s；

（2）这时第3个小球与第5个小球相距 （g取10 m／s²）

9. 如图，某时刻A、B两物体相距7m，A以4 m／s的速度向右做匀速直线运动，此时B的速度为10 m／s，方向向右，在摩擦力作用下以2 m/s²的加速度做匀减速运动。从该时刻经多长时间A追上B？

10. 一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加速到最大速度50 m／s，并能保持这个速度匀速行驶，问该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方2 000m处正以35 m／s的速度匀速行驶的汽车，至少需要多长时间？

11. A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计。问：

（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？

（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？

12. 已知自行车速度为6m/s作直线运动，汽车从同时同地以初速10m/s，加速度a=－0.5m/s²直线运行，试求自行车追上汽车前，两车的最大距离。

13. 摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方s处，有一辆汽车正以v2<v1的速度开始减速，加速度大小为α2。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速。求其加速度至少需要多少？

14. 在某市区内，一辆汽车在平直的公路上以速度v，警方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的车以法定最高速度vA是多大?

（2）游客横过马路的速度是多大?

15. 如图所示，长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21N的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。求：小球的质量。（g=10m/s²）

17. 杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有一半时间内没有球。设每个球上升的高度为1.25m，取 ，求每个球每次在手中停留的时间是多少？

18. 某升降机以1.6m/s的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板6.5m高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高（或低）了多少？

19. 将两小石块A、B同时竖直上抛，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的时间比B迟2s。问：

（1）A、B的初速度分别为多少？

（2）A、B分别达到的高度最大值各为多少？（ ）

20. 甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上，车速分别为6m/s、8m/s、9m/s。当甲、乙、丙三车依次相距5m时，乙驾驶员发现甲车开始以1m/s²的加速度做减速运动，于是乙也立即做减速运动，丙车亦同样处理。如图所示。直到三车都停下来时均未发生撞车事故。求丙车减速运动的加速度至少应为多大？

【试题答案

1. B 2. C 3. B 4. B 5. C 6. 1；2 7. 7辆 8. 0.5；35 m

9. 8 s 10. 150 s

11.（1）v0＞ （2）

解析：两球相遇时位移之和等于h。即： gt² （v0t－ gt²）=h

所以：t=

而B球上升的时间：t1= ，B球在空中运动的总时间：t2=（1）欲使两球在B球上升过程中相遇，则有t＜t1，即 ＜ ，所以v0＞

（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1＜t＜t2

即 ＜ ＜ ＜v0＜

12. 解析：画出两车v?Dt图象如图所示，可知，在自行车追上汽车前，二者速度相同时，相距最大，为阴影三角形面积。

且由图可知，t=16s时，自行车追上汽车。

13. 解：（1）如图（甲）所示，其相对位移为

即

(甲)

。

，所以 ，

先停下，摩托车经时间 后停下，这种情况下两车不发生碰撞的条件为 。有

14.（1）2l m／s （2）1.53 m／s

15. 解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移比小球的位移多一个筒的长度。

又因为筒受到重力（M－m）g和向下作用力F，据牛顿第二定律

16. 解：选升降机为参考系，螺帽受重力作用，相对加速度大小为g a，竖直向下，相对运动可视为以g a为加速度的自由落体，有 为所求。

17. 解：设一个球每次在手中停留的时间为 ，则手中连续抛出两球之间的时间间隔为 。在这段时间内，此球有 的时间停留在手中，则有代入数值得：∴ 球一次竖直上抛运动的时间 ，则它每次在手中停留时间为0.2S。

18. 解：设从放球到球与底板相碰需要时间t，放球时，球与底板的距离为h，升降机速度为 ，在此期间球下降距离

代入数据得 （负根舍去）

这时球相对于地面的速度为

由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球相对于底板的速度应为11.4m/s。由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍为 向上，所以碰撞后小球相对于地面向上的速度

由此可知球第一次上升的高度为

因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为

19. 解析：设A、B初速度分别为 、 ，二者上升的最大高度分别为 、 ，A、B上升到最高点所经历的时间依次为 得 ，

由题意知

所以

20. 解：先研究两车行驶中的一种特殊临界状态，两车同时停下且刚好接触在一起。则

，要使其同时停下则必然相碰。即是说 仍要增大， 按DC线所示规律变化，在D处时二者相距最近，如图所示。由题意知，

，则 还可再小些，二者不同时停下，停止时相对位移为 ，如图中有 三式联立得 （2）