一、教学内容:椭圆的方程
高考要求:理解椭圆的标准方程和几何性质.
重点:椭圆的方程与几何性质.
难点:椭圆的方程与几何性质.
二、知识点:
1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
定 义 |
第一定义:平面内与两个定点 |
第二定义: 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0<e<1) |
标 准 方 程 |
焦点在x轴上 |
焦点在y轴上 |
图 形 |
焦点在x轴上 |
焦点在y轴上 |
性 质 |
焦点在x轴上 范 围: 对称性: 顶点: 离心率:e 概念:椭圆焦距与长轴长之比 定义式: 范围: |
2、椭圆中a,b,c,e的关系是:(1)定义:r1+r2=2a
(2)余弦定理:
三、基础训练:
1、椭圆
3、两个焦点的坐标分别为
4、已知椭圆
满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为
8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系
【典型例题】
例1、(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,短轴长为4,求椭圆的方程.
解:设方程为
所求方程为
(2)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1,求椭圆的方程.
解:设方程为
所求方程为(3)已知三点P,(5,2),F1 (-6,0),F2 (6,0).设点P,F1,F2关于直线y=x的对称点分别为
解:(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为
解:设方程为
例2、如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)
解:建立如图所示直角坐标系,使点A、B、
则
解得
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值
上式可以变形为
解:知圆可化为:圆心Q(3,0),
设动圆圆心为
即
例4、已知椭圆的焦点是
(2)若点P在第三象限,且∠
选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.
解:(1)由题设|
∴
(2)设∠
由正弦定理得:
由等比定理得:
整理得:
说明:曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质,借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来,再去解三角形作答
例5、如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点P向
解:(1)当M是线段PP?@的中点时,设动点
因为点
所以有 所以点
(2)当M分 PP?@之比为
因为点
即所以点
例6、设向量
(II)已知点A(-1, 0),设直线y=
解:(I)∵
上式即为点P(x, y)到点(-m, 0)与到点(m, 0)距离之和为6.记F1(-m, 0),F2(m, 0)(0<m<0),则|F1F2|=2m<6.
∴ |PF1|+|PF2|=6>|F1F2|
又∵x>0,∴P点的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆的右半部分.
∵ 2a=6,∴a=3
又∵ 2c=2m,∴ c=m,b2=a2-c2=9-m2
∴ 所求轨迹方程为
( II )设B(x1, y1),C(x2, y2),
∴∴ 而y1y2=
=
∴
=
若存在实数m,使得
则由
可得10x1x2+7(x1+x2)+10=0 ①
再由
消去y,得(10-m2)x2-4x+9m2-77=0 ②
因为直线与点P的轨迹有两个交点.
所以
由①、④、⑤解得m2=
但由⑤,有9m2-77=
∴ 不存在符合题意的实数m,使得
例7、已知C1:
(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求p、m的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)若p=
解:(Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,
∵点A在抛物线上,∴
此时C2的焦点坐标为(
(Ⅱ)当C2的焦点在AB上时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1).
由
因为C2的焦点F´(
所以k2x2-
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
由
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0 ③
由于x1、x2也是方程③的两根,所以x1+x2=
从而
又m=-
当m=
当m=-
例8、已知椭圆C:
(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若
(Ⅲ)确定解:(Ⅰ)因为A、B分别为直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是A(-
由
即
(Ⅱ)当
由△MF1F2的周长为6,得2a+2c=6
∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3
故所求椭圆C的方程为
(Ⅲ)∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即
设点F1到l的距离为d,由
即当(注:也可设P(x0,y0),解出x0,y0求之)
【模拟试题】
一、选择题
1、动点M到定点
A、椭圆 B、线段 C、无图形 D、两条射线
2、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A、
3、(2004年高考湖南卷)F1、F2是椭圆C:
A、2个 B、4个 C、无数个 D、不确定
4、椭圆
A、32 B、16 C、8 D、4
5、已知点P在椭圆(x-2)2+2y2=1上,则
A、
6、我们把离心率等于黄金比
A、
二、填空题
7、椭圆
8、设F是椭圆
9、设
10、若椭圆
三、解答题
11、根据下列条件求椭圆的标准方程
(1)和椭圆
(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为
12、已知
13、椭圆
(1)求椭圆的离心率;
(2)设M是椭圆上任意一点,且
【试题答案】
1、B
2、D
3、A
4、B
5、D(法一:设
6、C
7、(
8、
9、
10、m<
11、(1)设椭圆方程
因为点
所以有
所以中点
13、解:设P点横坐标为x0,则
14、(1)解:设椭圆方程
x1x2=
由
又y1=x1-c,y2=x2-c
∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,∴ x1+x2=
即
∴
(2)证明:由(1)知a2=3b2,所以椭圆
设
∵M∴ (
即:
x1x2=
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=
又