一. 教学内容:数列求和
二. 重点、难点:
1. 公式法
2. 裂项相加
3. 裂项相消
4. 错位相减
【典型例题
[例1]
解:(1)
,< style= >
或1,
(2)
∴
[例2] 解:
迭加,
证:
迭加
∴
∴ 另:
[例3] 解:
[例4]
,求
。
解:
[例5] 解:
∴
[例6] 若数列
解:当
∴
当
∴
当
∴
当
且
∴
[例7] 设正数数列
。
(1)求证:
,记数列
解:(1)∵
∴
②
①-②得
整理得∵
∴
∴
又
(2)∵ ∴
[例8] 求和:解:
当
当
[例9] 数列
等于( )
A.
C.
D.
解:由
得
[例10] 某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元,从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元,该船每年捕捞总收入50万元。问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?
解:设船捕捞n年后的总盈利为y万元,则
所以,当捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元。
[例11] 一座大楼共n层,现每层指定一人步行到设在第k层的会议室开会(设每层楼梯长都相等)。问:如何确定会议室所在的楼层k,才能使n个与会人员上或下所走的楼梯总长最短?
解:设相邻两层之间的楼梯长为
;从第k 1层、…、第n层的人所走的楼梯长依次为
∵ k为整数 ∴ 当n为奇数时,k取
层;当n为偶数时,k取
或
,即会议室应设在第
或
层。
【模拟试题
1. 已知数列
。若数列
应满足的条件为( )
A.
B.
C.
D.
2. 在正项等比数列
,则
的值为( )
A. 28 B. 32 C. 35 D. 49
3. 等比数列
( )
A. 12 B. 10 C. 8 D.
4. 等比数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则( )
A. A B=C B. C.
5. 在等差数列
,
A.
B.
6. 等差数列
A.
B.
C.
7. 在等差数列
是方程
A. 15 B. 30 C. 50 D.
8. 在等差数列
,
A. 810 B. 840 C. 870 D. 900
9. 已知数列
,…它的前n项的积小于
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
10. 已知数列
,则
,直角三角形
,记
12. 正奇数集合{1,3,5,…},现在由小到大按第n组有{1} {3,5,7} {9,11,13,15,17},…
(第一组) (第二组) (第三组)
则2005位于第 组中。
13. 在等差数列
,
。
14. 某地区荒山2200亩,从2005年开始每年春季在荒山植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩。(1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化?(2)若每亩所植树苗木材量为2立方米,每年树木木材量的自然增长率为20%,那么全部绿化后的那一年年底,求该山木材总量。(精确到1立方米,参考数据:
,
)
【试题答案】
1. C 2. A 3. B 4. D 5. B 6. A 7. A
8. B 9. A 10. 765 11.
12. 解:正奇数
解
得
所以2005位于第32组
13. 解:∵ ∴
∴
14. 解:(1)由题意可知,各年植树亩数为100,150,200,……构成等差数列
设植树n年可将荒山全部绿化,则
或
(舍去)
所以,到2012年可将荒山全部绿化
(2)2005年所植树,春季木材量为2006年所植树到2012年底木材量为
。……
2012年所植树到年底木材量为
,则到2012年底木材总量为
上式乘以1.2,得
两式相减,得
所以,全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为S=9060立方米