一. 教学内容:平面向量与解析几何的综合
二. 教学重、难点:
1. 重点:
平面向量的基本知识,圆锥曲线的基本知识。
2. 难点:
平面向量与解析几何的内在联系和知识综合,向量作为解决问题的一种工具的应用意识。
【典型例题
[例1] 如图,已知梯形ABCD中,
解:如图,以AB的垂直平分线为
设A(
∴
设双曲线为
由(1):
将(3)代入(2):∴ ∴
[例2] 如图,已知梯形ABCD中,
解:以AB的垂直平分线为
因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性,知C、D关于
依题意,记A(
由
得
设双曲线的方程为
将(3)式代入(2)式,整理,得故
[例3] 在以O为原点的直角坐标系中,点A(
解:
(1)设
因为
所以
(2)由
设圆心(
故所求圆的方程为(3)设P(
即
∴
[例4] 已知常数
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值。
∵
因此,直线OP和AB的方程分别为
(3)当
[例5] 给定抛物线C:
解:
(1)C的焦点F(1,0),直线
所以
(2)设A(
即
∴
依题意有
当
直线
[例6] 抛物线C的方程为
(2)设直线AB上一点M,满足
(3)当
(2)证明:设直线PA的方程为
点P(
将(2)式代入(1)式得
于是
又点P(
将(5)式代入(4)式得
由已知得,
将(3)式和(6)式代入上式得
即(3)解:因为点P(
将
于是,
因即
又点A的纵坐标
[例7] 已知椭圆
解:
由
即
即
即∴
∴
【模拟试题】(答题时间:60分钟)
1. 已知椭圆
2. 设抛物线
3. 如图,设点A、B为抛物线
4. 平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(
5. 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为
(1)求椭圆的方程;
(2)设
(3)若
【试题答案】
1. 解:因为
因为N点在椭圆上,所以即所以
由
解得2. 证明:设A(
因为A、F、B三点共线,所以
化简得
由
所以
即A、O、C三点共线,直线AC经过原点
3. 解:设
∵
即又
即
∴
即
化简得
将①②两式代入③式,化简整理,得
∵ A、B是异于原点的点 ∴ 故点M的轨迹方程是
由
∴
∴ 方法二:∵
∵ A(3,1)B(
由已知得
(3)设PQ方程为
得依题意
∴
由①②③④得