幂函数检测题

1．下列幂函数为偶函数的是(　　)
A．y＝x12　　　　　　　　　　 B．y＝3x
C．y＝x2 D．y＝x－1
解析：选C.y＝x2，定义域为R，f(－x)＝f(x)＝x2.
2．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是(　　)
A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a
解析：选B.5－a＝(15)a，因为a＜0时y＝xa单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.
3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析：选A.在函数y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3.
4．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n>(－13)n，则n＝________.
解析：∵－12<－13，且(－12)n>(－13)n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，
∴n＝－1或n＝2.
答案：－1或2

1．函数y＝(x＋4)2的递减区间是(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选A.y＝(x＋4)2开口向上，关于x＝－4对称，在(－∞，－4)递减．
2．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：选C.

幂函数为y＝x－2＝1x2，偶函数图象如图．
3．给出四个说法：
①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0.
其中正确的说法个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－12的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.
4．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.∵f(x)＝xα为奇函数，
∴α＝－1，13，1,3.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴α＝－1.
5．使(3－2x－x2)－34有意义的x的取值范围是(　　)
A．R B．x≠1且x≠3
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
解析：选C.(3－2x－x2)－34＝143－2x－x23，
∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，
解得－3＜x＜1.
6．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.
7．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，12)的图象恒过点________．
解析：当x－1＝1，即x＝2时，无论α取何值，均有1α＝1，
∴函数y＝(x－1)α恒过点(2,1)．
答案：(2,1)
8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．
答案：α＜0
9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列____________________．
解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23)0＝1，
(35)12＜1，(25)12＜1，
∵y＝x12为增函数，
∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13.
答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13
10．求函数y＝(x－1)－23的单调区间．
解：y＝(x－1)－23＝1x－123＝13x－12，定义域为x≠1.令t＝x－1，则y＝t－23，t≠0为偶函数．
因为α＝－23＜0，所以y＝t－23在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t＝x－1单调递增，故y＝(x－1)－23在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．
11．已知(m＋4)－12＜(3－2m)－12，求m的取值范围．
解：∵y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．
∴原不等式化为m＋4＞03－2m＞0m＋4＞3－2m，
解得－13＜m＜32.
∴m的取值范围是(－13，32)．
12．已知幂函数y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
解：由幂函数的性质可知
m2＋2m－3＜0⇒(m－1)(m＋3)＜0⇒－3＜m＜1，
又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.
当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，
定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵－3＜0，
∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，
又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴y＝x－3是奇函数．
当m＝－1时，y＝x－4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)－4＝1－x4＝1x4＝x－4＝f(x)，
∴函数y＝x－4是偶函数．
∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数，
又∵y＝x－4是偶函数，
∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．