第二章第十节 导数的应用(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值 ”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A2．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为A．(0，＋∞) B.12，＋∞C．(－∞，－1) D.－∞，－12解析由y＝4x2＋1x得y′＝8x－1x2，令y′＞0，即8x－1x2＞0，解得x＞12，∴函数y＝4x2＋1x在12，＋∞上递增．答案B3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则关于f(x)单调性叙述：①f(x)在(－∞，1]和[3,5]上都是减函数；②f(x)在[1,3]和[5，＋∞)上都是减函数；③f(x)在R上是增函数．其中正确的序号为A．① B．②C．③ D．①③解析∵f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上为增函数，故选C.答案C4．(2012•唐山模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点．A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案A5．(2011•辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析设h(x)＝f(x)－2x－4，则h′(x)＝f′(x)－2＞0，∴h(x)是R上的增函数，又h(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴h(x)＞0的解集为{x|x＞－1}．答案B6．若曲线C：y＝x3－2ax2＋2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于A．－2 B．0C．1 D．－1解析y′＝3x2－4ax＋2a＞0，由Δ＜0⇒0＜a＜32，a∈Z，∴a＝1.答案C二、填空题(3×4分＝12分)7．(2011•广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，由f′(x)＜0得0＜x＜2，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，(0,2)上是减函数，(2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值．答案28．(2012•包头模拟)若函数f(x)＝－12x2＋bln (x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是________．解析f′(x)＝－x＋bx＋2＝－x2－2x＋bx＋2，由已知条件不等式－x2－2x＋b≤0对于一切x∈(－1，＋∞)恒成立．不等式－x2－2x＋b≤0可化为b≤x2＋2x＝(x＋1)2－1，因此b≤－1.答案(－∞，－1]9．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝________.解析f(x)＝x3－2mx2＋m2x，f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由已知f′(1)＝0即3－4m＋m2＝0，解得m＝1，或m＝3.当m＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，当m＝3时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．则m＝3应舍去．答案1三、解答题(38分)10．(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－12对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．
