高三数学总复习：数列的通项及数列求和

高三数学总复习知能达标训练第五章第四节数列的通项及数列求和(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2解析Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.答案C2．数列9,99,999,9 999，…的前n项和等于A．10n－1 B.109(10n－1)－nC.109(10n－1) D.109(10n－1)＋n解析an＝10n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n＝1010n－19－n.答案B3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Tn＝32164，则项数n等于A．13 B．10C．9 D．6解析an＝1－12n，因此Sn＝n－1－12n，由n－1＋12n＝32164，可观察出n＝6.答案D4．(2011•四川)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8等于A．0 B．3C．8 D．11解析设{bn}的首项为b1，公差为d，则b1＋2d＝－2，b1＋9d＝12，∴b1＝－6，d＝2.∴bn＝2n－8.又bn＝an＋1－an，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋b5＋…＋b1＋a1＝7－6＋2×7－82＋3＝3.答案B5．(2012•昆明模拟)数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为A．11 B．99C．120 D．121解析∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴Sn＝a1＋a2＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10，得n＝120.答案C6．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n的前n项和Sn等于A.3n－1n＋1 B.2nn＋1C.3nn＋1 D.4nn＋3解析an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，所以Sn＝21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.答案B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2011•陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵树，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返的路程为s＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000.答案2 0008．已知数列{an}满足an＋1an＝n＋2n(n∈N*)，且a1＝1，且an＝________.解析本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知可得，当n≥2时利用累积法得：an＝a1•a2a1•a3a2•…•anan－1＝1•31•42•53•…•nn－2•n＋1n－1＝nn＋12，又验证知a1＝1也适合，故an＝nn＋12.答案nn＋129．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列1fn，(n∈N*)的前n项和是________．解析∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列1fn，(n∈N*)的前n项和为：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案nn＋1三、解答题(38分)10．(12分)(2011•大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求an；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，证明Sn＜1.解析(1)∵11－an＋1－11－an＝1，11－a1＝1，∴11－an是等差数列，首项为1，公差为1，