13-3不等式选讲一、选择题1．(2011•山东理，4)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是()A．[－5,7] B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)[答案]D[解析]本题主要考查了绝对值不等式的解法．依题意：“|x－5|＋|x＋3|”的几何意义为：点x到点5，－3的距离之和．而当x＝－4或6时，|x－5|＋|x＋3|＝10，∴原不等式的解集为x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞)．2．(文)已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>ab2>a D.ab>a>ab2[答案]C[解析]∵b<－1，∴1b<0<1b2<1，又∵a<0，∴ab>ab2>a，∴选C.(理)(2010•天津理)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3[答案]D[解析]由题知：A＝{x|a－1<x<a＋1，x∈R}，B＝{x|x<b－2或x>b＋2}，若A B，则有a－1≥2＋b或a＋1≤b－2，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3，故选D.二、填空题3．(2011•江西文，15)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．[答案][0，＋ ∞)[解析]本题主要考查绝对值不等式的解法．利用分情况解决．当x≤－10时，原不等式变为：－x－10＋x－2≥8，即－12≥8，不符合要求；当－10<x<2时，原不等式变为：x＋10＋x－2≥8，即2x≥0，解得0≤x<2，当x≥2时，原不等式变为：x＋10－x＋2≥8，即12≥8恒成立，∴x≥2.综上所述，原不等式的解集为：[0，＋ ∞)．4．(2012•深圳模拟)已知命题“ x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]∵命题“ x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，∴命题“ x∈R，|x－a|＋|x＋1|>2”是真命题，由绝对值的几何意义得|a＋1|>2，即a<－3或a>1.5．(陕西质检二)对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是________．[答案]k<1[解析]∵|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，∴当且仅当k<1时，不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立．本题考查了含绝对值的不等式恒成立的问题，利用不等式的结构特征将变量消去是处理恒成立问题的通法．6．(北京海淀期中练习)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a>0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a的值为________．[答案]2[解析]由题易知f(－2)＝f(3)＝5，解得a＝2.三、解答题7．(2011•福建理21(3))设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．[解析](1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b.8．(2011•辽宁理，24)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．[解析](1)f(x)＝|x－2|－|x－5|
