数学纠错练习（11） 1．已知数列 是非零等差数列，又a1,a3,a9组成一个等比数列的前三项，则 的值是 ．1或 2．若向量 = ， = ，且 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是______________． 3．设数列 满足 ，则 为等差数列是 为等比数列的¬¬¬____________条件． 充要 4．已知 的取值范围是． 5．若2sin2α 的取值范围是 ．[0 , ] 6．已知适合不等式 的x的最大值为3，则p的值为 ．8 7．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，设函数 的图象为直线 ，且 与 轴、 轴分别交于 、 两点，给出下列四个命题： ① 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有一条； ② 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有两条； ③ 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有三条； ④ 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有四条. 其中所有真命题的序号是 ． ②③④ 8. 已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是_______ ___． 9．设 ,函数 的定义域是 ，值域是 ，若关于 的方程 有唯一的实数解，则 = . 1 10．设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额分成n次付清，每期 期末所付款是x元，每期利率为r，则x= ． 11．函数f(x)=2x，对x1,x2∈R+，x1≠x2， ， ( )， 比较大小：f( )+f( )_________f(x1)+f(x2). < 12．已知数列 满足： (m∈N?)， ，则数列 的前4m+4项的和 . 13. 设命题 ：函数 的定义域为 ；命题 ：不等式 对一切正实数均成立．如果命题 或 为真命题，命题 且 为假命题，求实数 的取值范围． 解：命题 为真命题 函数 的定义域为 对任意实数 均成立……………………………………………2＇ 时， 解集为 ； 或者 …………………………………4＇ ． 命题 为真命题 ． …………………………………………………………6＇ 命题 为真命题 对一切正实数均成立 对一切正实数 均成立． ………9＇ 由于 ，所以 ，所以 ，所以 ． 所以，命题 为真命题 ………………………………………………………12＇ 根据题意知命题 与 为有且只有一个是真命题，当命题 为真命题且命题 为假命题时 不存在；当命题 为假命题且命题 为真命题时 的取值范围是 ． 综上，命题 或 为真命题，命题 且 为假命题的实数 的取值范围是 ．……15＇ 14．设函数f（x）＝ （其中常数a＞0，且a≠1）． （1）当a＝10时，解关于x的方程f（x）＝m（其中常数m＞22）； （2）若函数f（x）在（－∞，2]上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围． 解 （1）f（x）＝ ① 当x＜0时，f（x）＝ ＞3．因为m＞22． 则当22＜m≤3时，方程f（x）＝m无解； 当m＞3，由10x＝3m，得x＝lg3m． ② 当x≥0时，10x≥1．由f（x）＝m得10x＋ ＝m， ∴（10x）2－m10x＋2＝0． 因为m＞22，判别式 ＝m2－8＞0，解得10x＝m±m2－82． 因为m＞22，所以m＋m2－82＞2＞1． 所以由10x＝m＋m2－82，解得x＝lgm＋m2－82． 令m－m2－82＝1，得m＝3． 所以当m＞3时，m－m2－82＝4m＋m2－8＜43＋32－8＝1， 当22＜m≤3时，m－m2－82＝4m＋m2－8＞43＋32－8＝1，解得x＝lg m－m2－82． 综上，当m＞3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg 3m和x＝lg m＋m2－82； 当22＜m≤3时，方程f（x）＝m有两解x＝lg m±m2－82． （2） 法一:（Ⅰ）若0＜a＜1， 当x＜0时，0＜f（x）＝3ax＜3； 当0≤x≤2时，f（x）＝ax＋2ax． 令t＝ax，则t∈[a2，1]，g（t）＝t＋2t在[a2，1]上单调递减， 所以当t＝1，即x＝0时f（x）取得最小值为3． 当t＝a2时，f（x）取得最大值为 ． 此时f（x）在（－∞，2]上的值域是（0， ]，没有最小值．
