导数开门 腾龙起凤?●计名释义?导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.?近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.??●典例示范?【例1】 （2005年北京卷）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .?【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.?但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.?【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=（ex）′.?设切点为(x0，e ?)，y′=ex，yx= x =e .? 则切线方程为y-e =e (x-x0),?∵切线过（0，0）点，0－e =e (0-x0)，∴x0=1，∴e =e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e.?【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.??【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a≠1)在区间( ，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )??A. B. C. D. ?【解答】 ?B? 设u=x3-ax，则u′=3x2-a.?当a>1时，f (x)在 上单调递增，必须u′=3x2-a>0，即a<3x2在 上恒成立.又0<3x2< ，∴a≤0，这与a>1矛盾.?当0<a<1时，f (x)在 上单调递增，必须u′=3x2-a<0，即a>3x2在 上恒成立，?∴a≥ 且（- ）3 -a (- )>0，即a> ,故有 ≤a<1,故正确答案为?B?.?【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.??【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.?【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.?令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.?(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.?即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1<x2，于是f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).?从而有下表：x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）f?(x) + 0 - 0 +f (x) ? f (x1)为极大值 ? f (x2)为极小值 ?即此时f (x)有两个极值点.?(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是f′(x)=ex(x-x1)2.?故当x<x1时，f′(x)>0；当x>x2时，f′(x)>0.因此f (x)无极值.?(3)当Δ<0，即0<a<4时，x2+(a+2)x+(2a+1)>0，f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此 当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f (x)无极值点.?【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.??●对应训练?1.已知函数f (x)= 的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.?(1)求函数y=f (x)的解析式；? （2）求函数y=f (x)的单调区间.?2.已知函数f (x)= ，x∈［0，1］.?(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域；?（Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x1∈［0,1］，总存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围.?3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex.?(Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论；?（Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围
