谈谈运算律与速算

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提高计算能力,运算律是我们的好助手。这一点,你早有认识;你将会看到,其中还大有潜力可以挖掘。现在就来作一次尝试。

  “九九表”有81句口诀,因为乘法有交换律,所以其中给出一位数相乘的不同情况只有45种。想一想:两位数相乘,不同的情况会有多少种?竖式乘法使我们避免了去记忆更多的乘法口诀,而“竖式”的依据仍旧是运算律。例如:

  23×27=(20+3)×(20+7)
  =(20+3)×20+(20+3)×7
  =20×20+20×3+20×7+3×7

  上面的运算。两次应用了分配律。
  
  注意到最后的算式中前三个乘积的和是
  
  20×20+20×3+20×7+3×7,(如下图)
  
  

   
  
  再次应用分配律,又可以把它写成20×(20+3+7)=20×30=600
  
  (即(2×3)×100)。

  这一类两位数乘法运算,相乘的两个数,十位上的数相同,个位上的数的和是10。我们说这样的两个数是“首同尾补”,它们的积的数字由两部分组成:从左往右,先是首×(首+1)得到的数,再是尾×尾得到的数。这个规律可以推广到多位数,如208×202=42016。

  想一想:下面的算式哪些错了?

  (1)104×106=11024;(2)192×198=38016;
  (3)1001×1009=101009;(4)9993×9997=99900021;
  (5)23×29=23×(27+2)=621+46=667;
  (6)12×17=12×(18-1)=216-12=204;
  (7)51×69=51×(59+10)=3009+510=3519;
  (8)25×65=25×(25+40)=625+1000=1625;
  (9)35×45=1225;(10)45×65=2425。

  上面的(l)、(2)、(4)式属于“首同尾补”的推广,其中(3)式是错的,它把十位上的漏写了;(5)、(6)式用于“首同尾不补”,(7)、(8)式属于“尾补首不同”,但都能转化为“首同尾补”;(9)、(l0)是错的,可仿照(7)式的方法来订正。
  
  如果你善于观察与思考,那么你一定会被(10)式所吸引:它属于首补尾同”,想必也会出现某种计算规律。这种猜想很有价值。
  
  45×65,既然不是等于2425,而是等于2925,你的注意力便会集中到那多出的500的由来──45×65=(40+5(60+5)=40×60+40×5+60×5+5×5中的40×5+60×5=(40+60)×5=100×5。

  所以,45×65,积的末两位数应是25,而前面应是“4×6+5”的得数。

  现在,你肯定能很快地直接写出下列两位数的积:

  17×97,24×84,43×63,56×56。

  对于下列情况:
  
  32×74,26×85,46×76,29×69,
  
  你产生的念头很有可能是:转化成“首补尾同”。当然,运算律又将作为助手伴随着你。
  
  大胆去实践,你必会成功。
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